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Choix Axiomatique et Théorie des Graphes

    Le choix de solutions à partir de préférences binaires présentant à la fois des intransitivités, des incomparabilités et des indifférences (i.e. un graphe orienté simple = relation binaire), n’est pas toujours possible en appliquant les axiomes de choix usuels : l’optimalité et la maximalité. La figure (a) montre un exemple de graphe où l’ensemble optimal et l’ensemble maximal sont vides, à cause des circuits de préférences strictes existants {x1, x3, x4, x1} et {x2, x3, x4, x2}. Par contre, le graphe de la figure (b) a un ensemble maximal = ensemble optimal = {x6}, malgré le circuit de préférences strictes {x1, x2, x3, x4, x5, x1}.

LEGENDE : Chaque sommet est une solution, et un arc de la solution x vers la solution y signifie que x est au moins d'aussi bonne qualité que y.

Les alternatives usuelles de la littérature à l’optimalité et la maximalité identifient généralement des solutions pas toujours intuitivement acceptables pour représenter les solutions de meilleure qualité. Nous avons donc proposé [4, 8] une famille d’axiomes – les axiomes de choix relatifs – permettant de faire des choix plus acceptables, à partir de n’importe quelle relation binaire. Par exemple, certains axiomes de notre famille permettent d’identifier {x1, x2, x3, x4} comme ensemble de choix du graphe de la figure (a).
Nos axiomes sont originaux et satisfaisants car elles intègrent la notion d’explication des conflits inévitables. Ainsi, le graphe de la figure (b) est partitionné en deux ensembles de choix potentiels {x6} et {x1, x2, x3, x4, x5} identifiés par nos axiomes. La préférence pour le plus petit ensemble effectué par l’optimalité et la maximalité s’obtient en se limitant aux ensembles de plus petit cardinal.
Nous avons aussi généralisé un axiome de redondance préférentielle (l’indiscernabilité) pour filtrer intelligemment l’information communiquée aux utilisateurs. Ainsi, les solutions x1 et x2 du graphe de la figure (a) sont exactement de la même opinion vis-à-vis des autres solutions (indiscernabilité). Par conséquent, nous pouvons nous limiter à une solution par classe de solutions indiscernables. En conclusion, la combinaison d'axiomes de choix relatifs et de l’indiscernabilité permet d’identifier les deux ensembles de choix {x1, x3, x4} et {x2, x3, x4}.
Des théorèmes de caractérisation ont été élaborés pour ces nouveaux axiomes, formant ainsi des résultats inédits en théorie des graphes [8].

Mots clés : Axiomatic choice theory, Decision making, Crisp binary relation, Nontransitive preferences, Transitive closure, Domination in Digraph


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